Hızlı ve doğru hesaplamalar için asal sayı hesaplayıcımızı kullanın. Ücretsiz çevrimiçi araç.
Asal sayılar aritmetiğin temel atomlarını temsil eder—birden büyük ve tam olarak iki pozitif bölene sahip doğal sayılar: bir ve kendileri. Bu bölünemeyen tam sayılar, 2, 3, 5, 7, 11, 13 ile başlayarak sonsuza uzanan, daha küçük doğal sayıları çarparak oluşturulamazlar. Buna karşılık, bileşik sayılar ikiden fazla bölene sahiptir ve asal çarpanlara ayrılabilirler. 1 sayısı özel bir konum işgal eder, modern matematiksel gelenekle ne asal ne de bileşik olarak sınıflandırılır, çünkü onu asal olarak dahil etmek asal çarpanlara ayırmanın benzersizliğini ihlal ederdi. Antik Yunanlılar, özellikle MÖ 300 civarında Öklid, sonsuz sayıda asal sayının var olduğunu kanıtlayarak sonsuz doğalarını belirlediler. Asal sayılar düzensiz dağılım desenleri sergiler—daha büyük sayılar arasında daha az sıklıkla olurlar ancak asla tamamen durmazlar. Görünüşte rastgele görünümleri, matematikçilerin binlerce yıldır incelediği derin matematiksel yapıları gizler, sayı teorisini, cebiri ve hatta kuantum fiziğini beklenmedik şekillerde bağlar.
Bir sayının asal olup olmadığını belirlemek, potansiyel bölenlerin sistematik olarak test edilmesini içerir. En doğrudan yöntem olan deneme bölümü, hedef sayının karekökünealanındaki 2'den tüm tam sayıların bölünebilirliğini test eder. Bunlardan hiçbiri eşit şekilde bölmüyorsa, sayı asaldır. Örneğin, 97'yi test ederken: √97 ≈ 9.85 hesaplayın, sonra 2, 3, 5, 7 ve 9 ile bölünebilirliği test edin. Hiçbiri 97'yi eşit şekilde bölmediğinden, asaldır. Bu, n = a × b ise ve her iki çarpan da √n'yi aşıyorsa, çarpımları n'yi aşacağı için bir çelişki yaratır. Küçük sayılar için (binlerin altında) deneme bölümü yeterlidir. Daha büyük sayılar Miller-Rabin (olasılıksal) veya AKS (deterministik ama daha yavaş) gibi sofistike asallık testleri gerektirir. Miller-Rabin testi olasılıksal doğrulama sağlar—tekrarlanan uygulamalar bir bileşiği yanlış bir şekilde asal olarak tanımlama şansını ihmal edilebilir seviyelere düşürür. Bu algoritmalar, kriptografik sistemlerin büyük asal sayıları verimli bir şekilde üretmesini ve doğrulamasını sağlar, yüzlerce basamaklı asal sayıların iletişimi güvence altına aldığı RSA şifrelemesi için gereklidir.
Asal sayılar matematiği ve uygulamalarını temel tanımlarının çok ötesinde kaplar. Kriptografide, büyük rastgele asal sayılar üretmek RSA ve benzer protokoller için güvenli anahtar üretimini sağlar—iki büyük asal sayının çarpımlarını çarpanlarına ayırmanın zorluğu güvenliği garanti eder. İnternet bankacılığı, şifreli mesajlaşma ve dijital imzalar tümü asal tabanlı kriptografiye dayanır. Sayı teorisyenleri asal dağılımı inceler, ardışık asal sayılar arasındaki boşlukları araştırır ve oluşumlarında desenler ararlar. Riemann Hipotezi, matematiğin en büyük çözülmemiş problemlerinden biri, asal sayıların dağılımıyla ilgilidir ve çözümü için bir milyon dolarlık ödül taşır. Asal sayılar doğada görünür: ağustosböcekleri 13 veya 17 yıllık döngülerde ortaya çıkar—yırtıcılarla senkronizasyondan kaçınan asal dönemler. Bilgisayar bilimindeki karma algoritmaları veri yapılarındaki çarpışmaları en aza indirmek için asal sayıları kullanır. Müzik teorisi bile harmonik seriler ve ritmik desenler aracılığıyla asal sayılara bağlanır. Daha büyük asal sayıların arayışı devam ediyor—bilinen en büyük asal sayı (son kayıtlara göre) 24 milyondan fazla basamak içerir, Great Internet Mersenne Prime Search'te binlerce gönüllünün bilgisayarlarından yararlanan dağıtık bilgi işlem projeleri aracılığıyla keşfedilmiştir.
2 sayısı tek çift asal sayı olarak benzersiz bir statüye sahiptir çünkü diğer tüm çift sayılar 2'ye bölünebilir, bu da onlara otomatik olarak en az üç bölen verir (1, 2 ve kendileri), bu da onları asallıktan diskalifiye eder. Tanım gereği, asal sayıların tam olarak iki pozitif böleni olmalıdır. 2'nin kendisi 1 ve 2'ye bölünebilir olsa da, asal kriterleri karşılarken, 2'den büyük her çift sayı 1'den büyük bir k tam sayısı için 2 × k olarak ifade edilebilir. Bu, 4 = 2 × 2, 6 = 2 × 3, 8 = 2 × 4 vb. anlamına gelir—hepsi bileşiktir. Bu nedenle 2 sayısı 'en tuhaf asal' olarak adlandırılır çünkü tek çift olanıdır. Bu özellik, 2'yi birçok sayı teorisi bağlamında istisnai kılar. Örneğin, Goldbach Varsayımı (kanıtlanmamış) 2'den büyük her çift tam sayının iki asal sayının toplamı olarak ifade edilebileceğini belirtir ve 2'nin özel rolü ikiz asal araştırmalarında (11 ve 13 gibi 2 farkla ayrılan asal sayılar) belirgin şekilde ortaya çıkar. 2'nin neden tek çift asal sayı olduğunu anlamak, bölünebilirlik ve asallık arasındaki bağlantıyı güçlendirir.
Küçük sayılar için (100'ün altında), birkaç zihinsel kısayol kapsamlı hesaplama olmadan asallık testini hızlandırır. İlk olarak, sayının 2 olup olmadığını kontrol edin—evet ise asaldır. İkinci olarak, çift olup olmadığını kontrol edin—evet ise (ve 2 değilse), bileşiktir. Üçüncü olarak, 3'e bölünebilirliği kontrol edin: rakamları toplayın; toplam 3'e bölünebilirse, sayı da öyledir. 57 için: 5 + 7 = 12 (3'e bölünebilir), bu yüzden 57 bileşiktir. Dördüncü olarak, 5 veya 0 ile bitip bitmediğini kontrol edin—bunlar 5'e bölünebilir ve bileşiktir (5'in kendisi hariç). Bu testleri geçen sayılar için, karekökealanındaki asal sayılarla bölmeyi deneyin. Örneğin, 89 asal mı? Tektir, rakam toplamı 17'dir (3'e bölünemez), 5 ile bitmez ve √89 ≈ 9.4, bu yüzden 7'yi test edin: 89 ÷ 7 = 12.71 (bölünemez). 9'a kadar hiçbir asal sayı onu bölmediğinden, 89 asaldır. 20'nin altındaki asal sayıları ezberleme (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19) de yardımcı olur—bunları hızlı bir şekilde tanımlayabilir ve biraz daha büyük sayılar için bölünebilirliği kontrol edebilirsiniz. Pratikle, bu teknikler günlük hesaplamalar için hızlı zihinsel asallık testlerini mümkün kılar.
İkiz asal sayılar, (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31) ve (41, 43) gibi tam olarak 2 farkla ayrılan asal sayı çiftleridir. Bu çiftler, tek asal sayılar için mümkün olan en yakın yakınlığı temsil eder, çünkü 2 farkla ayrılan ardışık tek sayılar, her ikisi de tek olması gerektiğinde minimum ayırmadır (unutmayın, 2 tek çift asal sayıdır). İkiz asal sayılar daha büyük sayılar arasında giderek daha nadir hale gelir, ancak matematikçiler sonsuz sayıda var olduğuna güçlü bir şekilde inanırlar—bu varsayım, İkiz Asal Varsayımı, yüzyıllarca çaba gösterilmesine rağmen kanıtlanmamış olarak kalır. 2013'te Yitang Zhang, en fazla 70 milyon boşluklu sonsuz asal çiftlerinin var olduğunu kanıtlayarak çığır açan ilerleme kaydetti, daha sonra işbirlikçi çalışmayla 246 boşluğa indirildi. İkiz asal varsayımını kanıtlamasa da, bu asal sayıların keyfi şekilde uzağa yayılmadığını doğruladı. İkiz asal sayılar matematikçileri büyüler çünkü asal sayıların görünüşte rastgele dağılımı ile altlarında yatan yapı arasındaki sınırı araştırırlar. Çalışmaları asal boşluklar, asal sayıların dağılımı ve sayı teorisinin en temel nesneleri içindeki desenler hakkındaki derin sorularla bağlantılıdır.
Çok büyük sayılar için (yüzlerce veya binlerce basamak) asallık testini yapmak hesaplama kaynaklarına meydan okur çünkü naif deneme bölümü pratik olmayan derecede yavaş hale gelir. Karekökealanındaki tüm bölenleri deneyerek 1000 basamaklı bir sayıyı test etmek, yaklaşık 10^500 adayı kontrol etmek anlamına gelir—evrendeki atom sayısını çok aşarak, şimdiye kadar inşa edilen tüm bilgisayarlarla bile kapsamlı aramayı imkansız hale getirir. Modern asallık testleri bunu matematiksel yaratıcılık yoluyla atlar. Miller-Rabin gibi olasılıksal testler, bileşik sayıları yüksek olasılıkla tanımlamak için modüler üs alma ve kuadratik kalanların özelliklerini kullanır, neredeyse kesinliğe ulaşmak için sadece onlarca iterasyon gerektirir. Test, 2^(-100)'den daha az bir olasılıkla bir bileşiği yanlış bir şekilde asal olarak tanımlayabilir, pratik amaçlar için ihmal edilebilir. AKS asallık testi (2002) polinom zamanda deterministik doğrulama sağlar ancak pratikte olasılıksal yöntemlerden daha yavaş çalışır. Asallık testinin zorluğu (asal olup olmadığını belirleme) çarpanlara ayırma zorluğuyla (asal çarpanları bulma) tezat oluşturur—test göreceli olarak verimlidir, çarpanlara ayırma ise zor kalır, kriptografi için çok önemli bir asimetri. Kuantum bilgisayarlar potansiyel olarak asallığı daha da hızlı test edebilir, ancak kriptografik asallık testi üzerindeki etkileri, çarpanlara ayırma tabanlı güvenliğe yönelik tehditlerinden daha az ciddidir.
Modern matematik, 1'den büyük her tam sayının benzersiz bir asal çarpanlara ayırma işlemine sahip olduğunu belirten Aritmetiğin Temel Teoremini korumak için 1'i asal sınıflandırmasından dışlar. 1 asal olsaydı, bu benzersizlik çökerdi—örneğin, 6, 2 × 3, veya 1 × 2 × 3, veya 1 × 1 × 2 × 3 olarak çarpanlarına ayrılabilir, sonsuz sayıda 'farklı' çarpanlara ayırma yaratır. Tanım gereği, asal sayıların tam olarak iki pozitif böleni olmalıdır, ancak 1'in sadece bir böleni (kendisi) vardır, bu da onu otomatik olarak diskalifiye eder. Tarihsel olarak, matematikçiler 1'in statüsünü tartıştı—bazı erken sayı teorisyenleri onu asal olarak değerlendirdi. Modern gelenek, 19. yüzyılın sonlarında ve 20. yüzyılın başlarında cebirsel sayı teorisi geliştiğinde ortaya çıktı; burada asal sayıları 1'i dışlamak için tanımlamak teoremleri daha temiz ve genel hale getirdi. Halka teorisinde, asal elemanlar birimleri (çarpımsal tersleri olan elemanlar) dışlamak için tanımlanır ve 1 çarpımsal kimlik, tipik birimdir. Bu keyfi gelenek gibi görünse de, derin matematiksel yapıyı yansıtır—asal sayılar çarpımsal yapı taşlarıdır, diğerlerini üreten indirgenemez elemanlardır ve 1'in evrensel bölünebilirliği onu kategorik olarak farklı kılar. 1'in neden asal olmadığını anlamak, matematiksel tanımların temel yapıları yakalamak için nasıl evrimleştiğini aydınlatır.