तेज और सटीक गणना के लिए हमारे अभाज्य संख्या कैलकुलेटर का उपयोग करें। मुक्त ऑनलाइन उपकरण।
अभाज्य संख्याएं अंकगणित के मौलिक परमाणुओं का प्रतिनिधित्व करती हैं—एक से बड़ी प्राकृतिक संख्याएं जिनमें ठीक दो सकारात्मक भाजक होते हैं: एक और स्वयं। ये अविभाज्य पूर्णांक, 2, 3, 5, 7, 11, 13 से शुरू होकर अनंत तक विस्तारित होते हैं, छोटी प्राकृतिक संख्याओं को एक साथ गुणा करके नहीं बनाए जा सकते। इसके विपरीत, संयुक्त संख्याओं में दो से अधिक भाजक होते हैं और उन्हें अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित किया जा सकता है। संख्या 1 एक विशेष स्थान रखती है, आधुनिक गणितीय परंपरा द्वारा न तो अभाज्य और न ही संयुक्त के रूप में वर्गीकृत किया जाता है, क्योंकि इसे अभाज्य के रूप में शामिल करने से अभाज्य गुणनखंडन की विशिष्टता का उल्लंघन होगा। प्राचीन यूनानियों ने, विशेष रूप से यूक्लिड ने लगभग 300 ईसा पूर्व में, सिद्ध किया कि अनंत अभाज्य संख्याएं मौजूद हैं, उनकी अंतहीन प्रकृति को स्थापित करते हुए। अभाज्य संख्याएं अनियमित वितरण पैटर्न प्रदर्शित करती हैं—वे बड़ी संख्याओं में कम बार-बार होती हैं फिर भी कभी पूरी तरह से बंद नहीं होती हैं। उनका प्रतीत रूप से यादृच्छिक प्रकटन गहरी गणितीय संरचनाओं को छुपाता है जिनका गणितज्ञों ने सहस्राब्दियों से अध्ययन किया है, संख्या सिद्धांत, बीजगणित और यहां तक कि क्वांटम भौतिकी को अप्रत्याशित तरीकों से जोड़ते हुए।
यह निर्धारित करने के लिए कि कोई संख्या अभाज्य है या नहीं, संभावित भाजकों का व्यवस्थित परीक्षण शामिल है। सबसे सीधा तरीका, परीक्षण विभाजन, लक्ष्य संख्या के वर्गमूल तक 2 से सभी पूर्णांकों द्वारा विभाज्यता का परीक्षण करता है। यदि इनमें से कोई भी समान रूप से विभाजित नहीं करता है, तो संख्या अभाज्य है। उदाहरण के लिए, 97 का परीक्षण करना: √97 ≈ 9.85 की गणना करें, फिर 2, 3, 5, 7 और 9 द्वारा विभाज्यता का परीक्षण करें। चूंकि कोई भी 97 को समान रूप से विभाजित नहीं करता है, यह अभाज्य है। यह काम करता है क्योंकि यदि n = a × b और दोनों गुणनखंड √n से अधिक हैं, तो उनका गुणनफल n से अधिक होगा, जो एक विरोधाभास पैदा करता है। छोटी संख्याओं (हजारों से कम) के लिए, परीक्षण विभाजन पर्याप्त है। बड़ी संख्याओं के लिए Miller-Rabin (संभाव्य) या AKS (नियतात्मक लेकिन धीमी) जैसे परिष्कृत प्राइमलिटी परीक्षणों की आवश्यकता होती है। Miller-Rabin परीक्षण संभाव्य सत्यापन प्रदान करता है—बार-बार अनुप्रयोग एक संयुक्त को गलत तरीके से अभाज्य के रूप में पहचानने की संभावना को नगण्य स्तरों तक कम कर देते हैं। ये एल्गोरिदम क्रिप्टोग्राफिक सिस्टमों को बड़े अभाज्य संख्याओं को कुशलता से उत्पन्न करने और सत्यापित करने में सक्षम बनाते हैं, जो RSA एन्क्रिप्शन के लिए आवश्यक हैं जहां सैकड़ों अंकों वाले अभाज्य संख्याएं संचार को सुरक्षित करते हैं।
अभाज्य संख्याएं गणित और इसके अनुप्रयोगों में अपनी प्राथमिक परिभाषा से कहीं अधिक व्याप्त हैं। क्रिप्टोग्राफी में, बड़े यादृच्छिक अभाज्य संख्याओं को उत्पन्न करना RSA और समान प्रोटोकॉल के लिए सुरक्षित कुंजी उत्पादन को सक्षम करता है—दो बड़े अभाज्य संख्याओं के गुणनफलों को गुणनखंडित करने की कठिनाई सुरक्षा की गारंटी देती है। इंटरनेट बैंकिंग, एन्क्रिप्टेड मैसेजिंग और डिजिटल हस्ताक्षर सभी अभाज्य-आधारित क्रिप्टोग्राफी पर निर्भर करते हैं। संख्या सिद्धांतकार अभाज्य वितरण का अध्ययन करते हैं, क्रमागत अभाज्य संख्याओं के बीच के अंतराल की जांच करते हैं और उनकी घटना में पैटर्न की तलाश करते हैं। Riemann परिकल्पना, गणित की सबसे बड़ी अनसुलझी समस्याओं में से एक, अभाज्य संख्याओं के वितरण से संबंधित है और इसके समाधान के लिए दस लाख डॉलर का पुरस्कार है। अभाज्य संख्याएं प्रकृति में दिखाई देती हैं: सिकाडा 13 या 17 वर्ष के चक्रों में उभरते हैं—अभाज्य अवधि जो शिकारियों के साथ समकालन से बचती हैं। कंप्यूटर विज्ञान में हैशिंग एल्गोरिदम डेटा संरचनाओं में टकराव को न्यूनतम करने के लिए अभाज्य संख्याओं का उपयोग करते हैं। यहां तक कि संगीत सिद्धांत अभाज्य संख्याओं से अधिस्वर श्रृंखलाओं और लय पैटर्न के माध्यम से जुड़ता है। बड़े अभाज्य संख्याओं की खोज जारी है—सबसे बड़ा ज्ञात अभाज्य (हाल के रिकॉर्ड के अनुसार) में 24 मिलियन से अधिक अंक हैं, जो Great Internet Mersenne Prime Search में हजारों स्वयंसेवकों के कंप्यूटरों का उपयोग करने वाली वितरित कंप्यूटिंग परियोजनाओं के माध्यम से खोजा गया था।
संख्या 2 एकमात्र सम अभाज्य के रूप में अद्वितीय स्थिति रखती है क्योंकि सभी अन्य सम संख्याएं 2 से विभाज्य होती हैं, स्वतः उन्हें कम से कम तीन भाजक (1, 2 और स्वयं) देती हैं, जो उन्हें अभाज्यता से अयोग्य ठहराता है। परिभाषा के अनुसार, अभाज्य संख्याओं में ठीक दो सकारात्मक भाजक होने चाहिए। जबकि 2 स्वयं 1 और 2 द्वारा विभाज्य है, अभाज्य मानदंडों को पूरा करते हुए, 2 से बड़ी प्रत्येक सम संख्या को 2 × k के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहां k कुछ 1 से बड़ा पूर्णांक है। इसका अर्थ है कि 4 = 2 × 2, 6 = 2 × 3, 8 = 2 × 4, इत्यादि—सभी संयुक्त। इसलिए संख्या 2 को 'सबसे विषम अभाज्य' कहा जाता है क्योंकि यह एकमात्र सम है। यह गुण 2 को कई संख्या सिद्धांत संदर्भों में असाधारण बनाता है। उदाहरण के लिए, Goldbach का अनुमान (अप्रमाणित) कहता है कि 2 से बड़ा प्रत्येक सम पूर्णांक दो अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, और 2 की विशेष भूमिका जुड़वां अभाज्य जांचों (2 से भिन्न अभाज्य संख्याएं, जैसे 11 और 13) में प्रमुखता से दिखाई देती है। यह समझना कि 2 एकमात्र सम अभाज्य क्यों है, विभाज्यता और अभाज्यता के बीच संबंध को मजबूत करता है।
छोटी संख्याओं (100 से कम) के लिए, कई मानसिक शॉर्टकट व्यापक गणना के बिना अभाज्यता परीक्षण को तेज करते हैं। पहले, जांचें कि संख्या 2 है—यदि हां, तो यह अभाज्य है। दूसरे, जांचें कि यह सम है—यदि हां (और 2 नहीं), तो यह संयुक्त है। तीसरे, 3 द्वारा विभाज्यता जांचें: अंकों को जोड़ें; यदि योग 3 से विभाज्य है, तो संख्या भी है। 57 के लिए: 5 + 7 = 12 (3 से विभाज्य), तो 57 संयुक्त है। चौथे, जांचें कि यह 5 या 0 में समाप्त होती है—ये 5 से विभाज्य और संयुक्त हैं (5 को छोड़कर)। इन परीक्षणों को पास करने वाली संख्याओं के लिए, वर्गमूल तक अभाज्य संख्याओं से विभाजित करने का प्रयास करें। उदाहरण के लिए, क्या 89 अभाज्य है? यह विषम है, अंकों का योग 17 है (3 से विभाज्य नहीं), 5 में समाप्त नहीं होती है, और √89 ≈ 9.4, इसलिए 7 का परीक्षण करें: 89 ÷ 7 = 12.71 (विभाज्य नहीं)। चूंकि 9 तक कोई अभाज्य संख्या इसे विभाजित नहीं करती है, 89 अभाज्य है। 20 से कम अभाज्य संख्याओं को याद रखना (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19) भी मदद करता है—आप इन्हें जल्दी से पहचान सकते हैं और थोड़ी बड़ी संख्याओं के लिए विभाज्यता की जांच कर सकते हैं। अभ्यास के साथ, ये तकनीकें रोजमर्रा की गणनाओं के लिए तेजी से मानसिक अभाज्यता परीक्षण को सक्षम करती हैं।
जुड़वां अभाज्य संख्याएं अभाज्य संख्याओं के जोड़े होते हैं जो ठीक 2 से भिन्न होते हैं, जैसे (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), और (41, 43)। ये जोड़े विषम अभाज्य संख्याओं के लिए निकटतम संभव निकटता का प्रतिनिधित्व करते हैं, क्योंकि 2 से भिन्न क्रमागत विषम संख्याएं न्यूनतम पृथक्करण हैं जब दोनों विषम होने चाहिए (याद रखें, 2 एकमात्र सम अभाज्य है)। जुड़वां अभाज्य संख्याएं बड़ी संख्याओं में तेजी से दुर्लभ हो जाती हैं, फिर भी गणितज्ञ दृढ़ता से मानते हैं कि अनंत संख्या में मौजूद हैं—यह अनुमान, जुड़वां अभाज्य अनुमान, सदियों के प्रयास के बावजूद अप्रमाणित रहता है। 2013 में, Yitang Zhang ने यह सिद्ध करके सफलता हासिल की कि अनंत अभाज्य जोड़े कम से कम 70 मिलियन के अंतराल के साथ मौजूद हैं, जिसे बाद में सहयोगी कार्य द्वारा 246 के अंतराल तक कम किया गया। हालांकि जुड़वां अभाज्य अनुमान को सिद्ध नहीं किया गया, इसने पुष्टि की कि अभाज्य संख्याएं मनमाने ढंग से अलग नहीं फैलती हैं। जुड़वां अभाज्य संख्याएं गणितज्ञों को आकर्षित करती हैं क्योंकि वे अभाज्य संख्याओं के यादृच्छिक-प्रकट वितरण और उनके नीचे होने वाली संरचना के बीच की सीमा की जांच करती हैं। उनका अध्ययन अभाज्य अंतराल, अभाज्य संख्याओं के वितरण और संख्या सिद्धांत की सबसे मौलिक वस्तुओं के भीतर पैटर्न के बारे में गहरे प्रश्नों से जुड़ता है।
बहुत बड़ी संख्याओं (सैकड़ों या हजारों अंकों) के लिए अभाज्यता का परीक्षण करना कम्प्यूटेशनल संसाधनों को चुनौती देता है क्योंकि सरल परीक्षण विभाजन अव्यावहारिक रूप से धीमा हो जाता है। एक 1000-अंक की संख्या का परीक्षण करना, इसके वर्गमूल तक सभी भाजकों को आजमाकर, लगभग 10^500 उम्मीदवारों की जांच करने का अर्थ है—जो ब्रह्मांड में परमाणुओं की संख्या से कहीं अधिक है, जिससे अब तक निर्मित सभी कंप्यूटरों के साथ भी संपूर्ण खोज असंभव हो जाती है। आधुनिक अभाज्यता परीक्षण गणितीय सरलता के माध्यम से इसे दरकिनार करते हैं। Miller-Rabin जैसे संभाव्य परीक्षण मॉड्यूलर घातांकीकरण और द्विघात अवशेषों के गुणों का उपयोग करके उच्च संभावना के साथ संयुक्त संख्याओं की पहचान करते हैं, जिन्हें निकट-निश्चितता प्राप्त करने के लिए केवल दर्जनों पुनरावृत्तियों की आवश्यकता होती है। परीक्षण 2^(-100) से कम संभावना के साथ गलत तरीके से एक संयुक्त को अभाज्य के रूप में पहचान सकता है, जो व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए नगण्य है। AKS अभाज्यता परीक्षण (2002) नियतात्मक बहुपद-समय सत्यापन प्रदान करता है लेकिन व्यवहार में संभाव्य विधियों की तुलना में धीमा चलता है। अभाज्यता परीक्षण की कठिनाई (यह निर्धारित करना कि अभाज्य है या नहीं) गुणनखंडन की कठिनाई (अभाज्य गुणनखंड खोजना) के विपरीत है—परीक्षण अपेक्षाकृत कुशल है जबकि गुणनखंडन कठिन रहता है, जो क्रिप्टोग्राफी के लिए महत्वपूर्ण असमानता है। क्वांटम कंप्यूटर संभावित रूप से अभाज्यता का परीक्षण और भी तेजी से कर सकते हैं, हालांकि क्रिप्टोग्राफिक अभाज्यता परीक्षण पर उनका प्रभाव गुणनखंडन-आधारित सुरक्षा के लिए उनके खतरे से कम गंभीर है।
आधुनिक गणित 1 को अभाज्य वर्गीकरण से बाहर रखता है ताकि अंकगणित के मौलिक प्रमेय को संरक्षित किया जा सके, जो कहता है कि 1 से बड़ा प्रत्येक पूर्णांक एक अद्वितीय अभाज्य गुणनखंडन रखता है। यदि 1 अभाज्य होता, तो यह विशिष्टता नष्ट हो जाती—उदाहरण के लिए, 6 को 2 × 3, या 1 × 2 × 3, या 1 × 1 × 2 × 3 के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है, जो अनंत 'विशिष्ट' गुणनखंडन बनाता है। परिभाषा के अनुसार, अभाज्य संख्याओं में ठीक दो सकारात्मक भाजक होने चाहिए, लेकिन 1 में केवल एक भाजक है (स्वयं), स्वतः इसे अयोग्य ठहराते हुए। ऐतिहासिक रूप से, गणितज्ञों ने 1 की स्थिति पर बहस की—कुछ प्रारंभिक संख्या सिद्धांतकारों ने इसे अभाज्य माना। आधुनिक परंपरा 19वीं सदी के अंत और 20वीं सदी की शुरुआत में उभरी जब बीजगणितीय संख्या सिद्धांत विकसित हुआ, जहां 1 को बाहर करने वाले अभाज्य संख्याओं को परिभाषित करना प्रमेयों को स्वच्छ और अधिक सामान्य बनाता है। रिंग सिद्धांत में, अभाज्य तत्वों को इकाइयों (गुणात्मक व्युत्क्रम वाले तत्व) को बाहर करने के लिए परिभाषित किया जाता है, और 1 गुणात्मक पहचान है, सर्वोत्तम इकाई। जबकि यह मनमाना परंपरा जैसा लगता है, यह गहरी गणितीय संरचना को दर्शाता है—अभाज्य संख्याएं गुणात्मक निर्माण खंड हैं, अपरिवर्तनीय तत्व जो अन्य सभी को उत्पन्न करते हैं, और 1 की सार्वभौमिक विभाज्यता इसे स्पष्ट रूप से भिन्न बनाती है। यह समझना कि 1 अभाज्य क्यों नहीं है, यह स्पष्ट करता है कि गणितीय परिभाषाएं आवश्यक संरचनाओं को पकड़ने के लिए कैसे विकसित होती हैं।