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मॉड्यूलो ऑपरेशन, जो सामान्यतः प्रोग्रामिंग भाषाओं में प्रतिशत प्रतीक (%) द्वारा दर्शाया जाता है, शेषफल की गणना करता है जब एक संख्या दूसरी में विभाजित होती है। यह मौलिक गणितीय ऑपरेशन कंप्यूटर विज्ञान, क्रिप्टोग्राफी, संख्या सिद्धांत और रोजमर्रा के संगणनात्मक कार्यों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। मॉड्यूलो ऑपरेटर को समझना प्रोग्रामर्स को चक्रीय पैटर्न से जुड़ी समस्याओं को हल करने, यह निर्धारित करने में सक्षम बनाता है कि संख्याएं सम या विषम हैं, हैश फ़ंक्शन बनाने और एन्क्रिप्शन एल्गोरिदम लागू करने में। इसके सबसे सरल रूप में, मॉड्यूलो ऑपरेशन इस प्रश्न का उत्तर देता है: पूर्णांक विभाजन करने के बाद, कौन सा मान शेष रहता है? उदाहरण के लिए, 17 मॉड्यूलो 5 2 के बराबर है क्योंकि जब आप 17 को 5 से विभाजित करते हैं, तो आपको 2 के शेषफल के साथ 3 का भागफल मिलता है। यह ऑपरेशन पूरे गणित और कंप्यूटर प्रोग्रामिंग में प्रकट होता है, प्राथमिक विद्यालय के विभाजन पाठों से लेकर इंटरनेट पर संवेदनशील डेटा की सुरक्षा करने वाली उन्नत क्रिप्टोग्राफिक प्रणालियों तक। मॉड्यूलो गणनाओं में महारत हासिल करना कई तकनीकी विषयों में समस्या-समाधान क्षमताओं को बढ़ाता है।
मॉड्यूलो की गणना में व्यवस्थित रूप से भाज्य से भाजक को घटाना शामिल है जब तक कि परिणाम भाजक से छोटा न हो जाए। अंतिम मान जो शेष रहता है मॉड्यूलो परिणाम का गठन करता है। उदाहरण के लिए, 17 mod 3 खोजने के लिए, आप 17 से शुरू करते हैं और बार-बार 3 घटाते हैं: पहले 14, फिर 11, फिर 8, फिर 5 और अंत में 2 प्राप्त करते हैं। चूंकि 2, 3 से कम है, आप नकारात्मक हुए बिना फिर से 3 नहीं घटा सकते, इसलिए 2 आपका उत्तर है। यह प्रक्रिया सीधे लंबे विभाजन के समानांतर है, जहां मॉड्यूलो परिणाम विभाजन पूरा होने के बाद शेषफल के बराबर है। प्रत्येक मॉड्यूलो ऑपरेशन में चार घटक शामिल हैं: भाज्य (विभाजित की जा रही संख्या), भाजक (विभाजित करने वाली संख्या), भागफल (भाजक भाज्य में कितनी बार फिट होता है), और शेषफल (मॉड्यूलो परिणाम)। इन संबंधों को समझने से यह स्पष्ट करने में मदद मिलती है कि मॉड्यूलो ऑपरेशन गणितीय रूप से कैसे कार्य करते हैं और वे अपने परिणाम क्यों उत्पन्न करते हैं। छोटी संख्याओं के लिए सरल होते हुए, मॉड्यूलो गणनाएं नकारात्मक संख्याओं के साथ अधिक जटिल हो जाती हैं, जहां विभिन्न प्रोग्रामिंग भाषाएं संकेतों को संभालने के लिए थोड़ी अलग परंपराओं को लागू कर सकती हैं।
मॉड्यूलो ऑपरेशनों के व्यावहारिक अनुप्रयोग कंप्यूटर विज्ञान के लगभग हर क्षेत्र और कई गणितीय क्षेत्रों में फैले हुए हैं। प्रोग्रामिंग में, डेवलपर्स सरणी सूचकांकों के माध्यम से चक्र करने के लिए मॉड्यूलो का उपयोग करते हैं, यह सुनिश्चित करते हुए कि मान सरणी सीमा से अधिक होने पर लपेटें। यह निर्धारित करने के लिए कि कोई संख्या सम या विषम है, संख्या मॉड्यूलो 2 की जांच करने के अलावा कुछ भी आवश्यक नहीं है कि क्या यह शून्य (सम) या एक (विषम) के बराबर है। हैश टेबल कुंजियों को भंडारण स्थानों पर मैप करने के लिए मॉड्यूलो ऑपरेशनों को नियोजित करते हैं, उपलब्ध मेमोरी में डेटा को कुशलतापूर्वक वितरित करते हैं। क्रिप्टोग्राफिक एल्गोरिदम मॉड्यूलर अंकगणित पर बहुत अधिक निर्भर करते हैं, RSA एन्क्रिप्शन जैसी प्रणालियों के साथ बहुत बड़ी अभाज्य संख्याओं के साथ मॉड्यूलो ऑपरेशनों के गुणों पर निर्भर करते हैं। ग्राफिक्स प्रोग्रामिंग में, मॉड्यूलो निर्देशांक को चक्रीय श्रेणियों में मैप करके दोहराए जाने वाले पैटर्न और बनावट बनाता है। कैलेंडर गणनाएं सप्ताह के दिनों को निर्धारित करने के लिए मॉड्यूलो का उपयोग करती हैं, रैखिक दिन की गिनती को सात-दिवसीय चक्रों में परिवर्तित करती हैं। यादृच्छिक संख्या जनरेटर अक्सर विशिष्ट श्रेणियों में उत्पन्न मानों को सीमित करने के लिए मॉड्यूलो का उपयोग करते हैं। ये विविध अनुप्रयोग प्रदर्शित करते हैं कि यह सरल गणितीय ऑपरेशन कैसे अनगिनत संगणनात्मक तकनीकों को रेखांकित करता है, जो मॉड्यूलो साक्षरता को एल्गोरिदम, डेटा संरचनाओं या गणितीय कंप्यूटिंग के साथ काम करने वाले किसी भी व्यक्ति के लिए आवश्यक बनाता है।
यद्यपि अक्सर परस्पर विनिमय के रूप में उपयोग किया जाता है, मॉड्यूलो और शेषफल तब भिन्न हो सकते हैं जब नकारात्मक संख्याएं शामिल होती हैं। शेषफल ऑपरेशन मानक अंकगणितीय विभाजन नियमों का पालन करता है, जबकि मॉड्यूलो मॉड्यूलर अंकगणित को लागू करता है, जो प्रोग्रामिंग भाषा के आधार पर नकारात्मक मानों को अलग तरीके से संभाल सकता है। कई भाषाओं में, मॉड्यूलो और शेषफल सकारात्मक संख्याओं के लिए समान परिणाम उत्पन्न करते हैं लेकिन नकारात्मक भाज्य या भाजकों के लिए भिन्न हो सकते हैं। सकारात्मक संख्याओं के साथ व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, मॉड्यूलो और शेषफल समतुल्य हैं, दोनों विभाजन के बाद बचे हुए को देते हैं।
यह निर्धारित करने के लिए कि कोई संख्या सम या विषम है, संख्या मॉड्यूलो 2 की गणना करें। यदि परिणाम 0 के बराबर है, तो संख्या सम है; यदि यह 1 के बराबर है, तो संख्या विषम है। यह काम करता है क्योंकि सम संख्याएं 2 से पूरी तरह से विभाज्य हैं (कोई शेषफल नहीं छोड़ती), जबकि विषम संख्याएं हमेशा 2 से विभाजित होने पर 1 का शेषफल छोड़ती हैं। उदाहरण के लिए, 10 mod 2 = 0 (सम), जबकि 15 mod 2 = 1 (विषम)। यह तकनीक प्रोग्रामिंग में मॉड्यूलो के सबसे सामान्य उपयोगों में से एक है।
जब मॉड्यूलो ऑपरेशनों में नकारात्मक संख्याएं शामिल होती हैं, तो परिणाम उपयोग की जा रही प्रोग्रामिंग भाषा या गणितीय परंपरा पर निर्भर करता है। कुछ भाषाएं हमेशा एक गैर-नकारात्मक परिणाम लौटाती हैं (गणितीय मॉड्यूलर अंकगणित से मेल खाती हैं), जबकि अन्य भाज्य और भाजक के संकेतों के आधार पर नकारात्मक मान लौटा सकती हैं। Python, उदाहरण के लिए, हमेशा भाजक के समान संकेत के साथ परिणाम लौटाता है, जबकि C और Java भाज्य के समान संकेत के साथ परिणाम लौटाते हैं। नकारात्मक मॉड्यूलो ऑपरेशनों के साथ काम करते समय हमेशा अपनी विशिष्ट प्रोग्रामिंग भाषा के दस्तावेज़ीकरण से परामर्श करें।
यद्यपि मॉड्यूलो ऑपरेशन पारंपरिक रूप से पूर्णांकों के लिए परिभाषित है, कुछ प्रोग्रामिंग भाषाएं और गणितीय संदर्भ इसे फ्लोटिंग-पॉइंट संख्याओं के साथ काम करने के लिए विस्तारित करते हैं। हालांकि, यह उपयोग कम आम है और भाषाओं में अलग तरह से व्यवहार कर सकता है। अधिकांश व्यावहारिक अनुप्रयोगों में, मॉड्यूलो का उपयोग पूर्ण संख्या विभाजन के बाद शेषफल खोजने के लिए पूर्णांकों के साथ किया जाता है। यदि आपको दशमलव शेषफल के साथ काम करने की आवश्यकता है, तो आप आमतौर पर विभिन्न गणितीय ऑपरेशनों का उपयोग करते हैं या मॉड्यूलो लागू करने से पहले अपने मानों को पूर्णांकों में परिवर्तित करते हैं।
मॉड्यूलो प्रोग्रामिंग में महत्वपूर्ण है क्योंकि यह चक्रीय व्यवहार, पैटर्न निर्माण और कुशल डेटा वितरण को सक्षम बनाता है। यह प्रोग्रामों को सीमाओं के चारों ओर मान लपेटने की अनुमति देता है (जैसे सरणी सूचकांकों के माध्यम से चक्र करना), विभाज्यता गुणों को निर्धारित करना, डेटा संरचनाओं के लिए हैश फ़ंक्शन लागू करना, ग्राफिक्स में दोहराए जाने वाले पैटर्न बनाना, कैलेंडर और समय गणना संभालना, और यादृच्छिक संख्याओं को विशिष्ट श्रेणियों में सीमित करना। कई एल्गोरिदम अपनी मुख्य कार्यक्षमता के लिए मॉड्यूलो ऑपरेशनों पर निर्भर करते हैं, जो इसे सॉफ्टवेयर विकास में सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले गणितीय ऑपरेटरों में से एक बनाता है। मॉड्यूलो को समझना लगभग सभी प्रोग्रामिंग डोमेन में कुशल, सुरुचिपूर्ण कोड लिखने के लिए आवश्यक है।